L'équation du second degré dans les registres sémiotiques
La méthode babylonienne, où la formule cesse d'être une recette tombée du ciel pour devenir le dernier dessin d'une série — et où le dessin, lui, avoue ce qu'il ne peut pas montrer.
Un élève de quatrième secondaire sait écrire x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Demandez-lui d'où elle vient et, neuf fois sur dix, la réponse sera qu'elle était dans le manuel. Il n'a pas mal appris : on lui a demandé de retenir un énoncé dont la justification n'apparaît dans aucun des registres où il travaille.
C'est exactement ce que Raymond Duval permet de nommer. En mathématiques, on n'a jamais accès à l'objet, seulement à ses représentations ; et la formule quadratique est un cas extrême : c'est un traitement dans le registre symbolique — une suite de transformations légitimes — dont le sens vit dans un autre registre, celui des aires, que l'école ne montre presque jamais.
Le résultat est connu de tous les enseignants :
- Le discriminant devient un test, non une raison. « Si delta est négatif, pas de solution » est retenu comme une règle de circulation. Pourquoi un nombre négatif interdirait-il une solution ? Rien, dans l'écriture, ne le dit.
- Le « ± » est copié, non compris. Beaucoup d'élèves ne donnent qu'une racine, et ils ont une excuse : une équation, jusqu'ici, avait une réponse.
- La formule ne se répare pas. Un élève qui hésite entre 2a et a au dénominateur n'a aucun moyen de trancher : une recette qu'on ne sait pas refaire ne se vérifie pas, elle se re-mémorise.
La méthode babylonienne — celle de l'outil, d'après le document de l'auteur — prend le problème par l'autre bout. Elle ne démontre pas la formule : elle la dessine, en cinq gestes, et l'écriture suit. Vieille de presque quatre mille ans, elle est aussi celle qu'al-Khwārizmī reprendra pour fonder l'algèbre, et c'est d'elle que vient le nom qui nous reste : compléter le carré.
Quatre concepts, et ce qu'ils permettent de voir
Duval distingue quatre opérations cognitives sur les représentations. Les confondre, c'est confondre quatre difficultés très différentes — et proposer la même remédiation à toutes.
Reconnaissance
Identifier, dans une représentation, l'objet dont elle parle et les unités signifiantes qui la composent. Reconnaître que x² est un carré de côté x et que 6x est un rectangle n'a rien d'évident : rien, dans ces deux écritures, ne dit qu'elles parlent de surfaces comparables.
Traitement
Transformer une représentation à l'intérieur de son registre. Développer, diviser les deux membres, isoler x sont des traitements symboliques ; couper un rectangle en deux et le déplacer est un traitement figural. Les deux existent, et l'école n'enseigne que le premier.
Conversion
Passer d'un registre à un autre en parlant du même objet : de x² + 6x = 7 à un carré bordé de deux bandes, et du carré complété à (x + 3)² = 16. C'est la conversion que la formule, seule, escamote entièrement.
Coordination
Reconnaître le même objet dans plusieurs registres et savoir lequel choisir — y compris savoir ce que chacun ne montre pas. C'est ici le cœur du document : la figure fonde la méthode, et elle ne fonde pas la racine négative.
Cinq gestes, et l'écriture qui les suit
L'exemple : x² + 6x − 7 = 0. À gauche, la résolution s'écrit ligne à ligne ; à droite, la figure se construit. Dans l'outil, les deux volets sont côte à côte dans le même cadre, et aucune ligne ne s'écrit avant que son geste n'ait été fait.
1Le carré, et le rectangle à côté. x² est un carré de côté x ; 6x est un rectangle de 6 sur x. La constante est passée à droite : à gauche, il ne reste que ce qui se dessine.
2On coupe le rectangle en deux — 3x et 3x — et l'on glisse une moitié sous le carré. L'aire n'a pas changé d'un millimètre carré, et il manque un coin.
3Le coin qui manque est un carré de côté 3, d'aire 9. On l'ajoute à gauche — donc on l'ajoute aussi à droite. C'est là toute la méthode, et c'est là que l'égalité se maintient ou se perd.
4C'est un carré, et son côté vaut x + 3. Son aire vaut 16. Donc (x + 3)² = 16, et x + 3 = 4 : le côté du carré d'aire 16 mesure 4. Reste à lire : x = 1.
Pourquoi on commence par ramener le coefficient de x² à 1. Ce n'est pas une politesse algébrique : un carré n'a qu'un seul x². Tant que l'équation commence par 3x², il n'y a pas de figure du tout. Diviser les deux membres par le coefficient est donc une condition de dessinabilité — et c'est une bien meilleure raison que « c'est plus simple ».
Et le verdict se lit sur l'aire du grand carré, sans qu'aucune règle n'ait à être retenue :
- Aire positive : le carré existe, son côté se mesure dans les deux sens — deux racines.
- Aire nulle : le carré est réduit à un point — une racine double.
- Aire négative : aucun carré. Pas de racine réelle — non parce qu'une règle l'interdit, mais parce qu'un carré n'est jamais négatif.
x² et 6x cessent d'être deux termes qui se ressemblent pour devenir deux surfaces de formes différentes — un carré, un rectangle — qu'on peut poser l'une contre l'autre. Et « 9 » cesse d'être un nombre qui tombe du calcul : c'est l'aire du coin qui manque, et sa valeur se lit sur la figure avant d'être calculée.
Le traitement figural — couper, glisser, compléter — est aussi rigoureux que le traitement symbolique, et il est contrôlable : couper un rectangle en deux parts égales et les déplacer ne change pas l'aire, et cela se voit. L'écriture reste la même qu'au tableau ; c'est son statut qui change, de recette à compte rendu.
C'est la conversion que la formule supprime, et l'outil la rend obligatoire dans les deux sens : l'équation donne la figure (étape 1), la figure donne l'équation suivante (étape 4). Le « + 9 » des deux côtés est le point exact où les deux registres se tiennent : dans la figure, il est un coin ; dans l'écriture, il est le maintien de l'égalité.
Le signe du discriminant devient une propriété des aires, pas un test à mémoriser. « Un carré n'est jamais négatif » est une phrase qu'un élève de quatrième secondaire peut dire, comprendre et redémontrer seul — et c'est elle, et non la règle du delta, qui explique l'absence de racines réelles.
La racine négative n'a pas de dessin
Au bout de la figure, x + 3 = 4 donne x = 1. Mais l'équation a deux racines, et la seconde est x = −7. Elle vient de x + 3 = −4 — et aucun carré n'a un côté de −4.
Il faut le dire à l'élève, et le dire tôt. Les Babyloniens eux-mêmes ne retenaient que la solution positive : leurs problèmes portaient sur des longueurs et des largeurs de champs, et une largeur négative n'a pas de sens pour un arpenteur. Ce n'est pas une négligence de leur part ; c'est la limite exacte du registre dans lequel ils travaillaient.
C'est une leçon de didactique plus précieuse que la méthode elle-même, et elle vaut pour tous les matériels : un registre figural a un domaine de validité. Celui-ci rend le chemin visible ; il ne rend pas visible la totalité de l'arrivée. Le passage de « le côté vaut 4 » à « x + 3 vaut 4 ou −4 » est un retour au registre symbolique, et il doit être enseigné comme tel — c'est le symbolique qui est ici le plus puissant des deux.
Un enseignant qui tairait cette limite ferait deux dégâts d'un coup : il laisserait l'élève perdre une racine sur deux, et il lui laisserait croire qu'un dessin peut tout fonder. L'outil écrit donc les deux racines, et cette page écrit pourquoi la seconde n'est pas dans la figure.
L'élève doit reconnaître que « x + 3 » désigne une longueur dans la figure et un nombre réel quelconque dans l'équation. Ce n'est pas le même objet mathématique au même titre : le second contient le premier et le dépasse. Toute la difficulté du ± est là, et elle est de nature sémiotique, non calculatoire.
« Prendre la racine carrée des deux membres » est un traitement symbolique qui n'a pas d'équivalent figural complet : il produit deux solutions là où la figure n'en montre qu'une. C'est l'exemple le plus net, dans tout le secondaire, d'un traitement qui excède ce que le dessin peut accompagner.
La conversion s'arrête ici, et il faut le savoir pour l'enseigner. On ne convertit pas x = −7 en figure ; on le lit dans l'équation (x + 3)² = 16, qui a deux antécédents. Le dispositif a conduit jusqu'à cette équation : c'est précisément ce qu'on lui demandait.
Savoir quel registre choisir, c'est aussi savoir quand en changer. Un élève qui a compris cela ne fera plus l'erreur inverse — celle qui consiste à refuser une solution parce qu'on ne la voit pas sur le dessin — et c'est un résultat d'apprentissage qu'aucun exercice de calcul ne produit.
La formule comme dernier dessin de la série
L'outil a un second mode, et ce n'est pas un luxe : ax² + bx + c = 0, avec a ≠ 0. Les mêmes cinq étapes, les mêmes gestes — et au bout, la formule. L'élève ne découvre pas une nouvelle méthode : il reconnaît, écrite en lettres, celle qu'il vient de faire sur des nombres.
Le même geste, en lettres : le rectangle (b/a)x coupé en deux parts de (b/2a)x, dont une glisse sous le carré. Le coin manquant a pour côté b/2a.
Le carré complété. Son côté vaut x + b/2a — d'où le 2a du dénominateur, qui n'est plus à retenir. Son aire vaut (b² − 4ac) / 4a² : le discriminant est cette aire, au facteur 4a² près.
La même phrase, dite dans les deux registres : « b² − 4ac ≥ 0 » dans le symbolique, « le grand carré a une aire » dans le figural. Ce ne sont pas deux conditions à apprendre, c'est une seule, vue deux fois.
Les lettres a, b, c cessent d'être les cases d'un gabarit : b/2a est la moitié d'un côté, b²/4a² est l'aire d'un coin. Chaque morceau de la formule a désormais un référent dans un dessin que l'élève a construit lui-même, de ses mains, dix minutes plus tôt.
Le traitement en lettres est strictement le même qu'en nombres — c'est l'argument central du mode général. L'élève ne change pas de méthode en changeant de registre d'écriture ; il constate que la méthode ne dépendait pas des nombres, ce qui est la définition même de la généralisation en algèbre.
La conversion décisive est ici celle du particulier au général, et elle ne va pas de soi : rien ne garantit qu'un élève à qui la méthode a réussi sur x² + 6x = 7 reconnaisse cette méthode dans ax² + bx + c = 0. Faire les deux avec les MÊMES gestes et les MÊMES étapes est précisément ce qui rend cette reconnaissance possible.
La formule devient réparable. Un élève qui hésite sur le dénominateur peut refaire le dessin et retrouver 2a — il n'a plus besoin de se souvenir, il peut reconstruire. C'est le critère de compréhension chez Duval : non pas réussir dans un registre, mais tenir ensemble ce que chacun montre.
Ce que le dispositif s'interdit, et pourquoi c'est didactique
1. Aucune ligne ne s'écrit avant son geste
Le volet gauche n'affiche jamais la ligne suivante. Tant que le rectangle n'est pas coupé, rien ne s'écrit ; tant que le coin n'est pas posé, le « + 9 » n'apparaît pas. Une ligne qui s'afficherait d'avance donnerait la réponse pendant que l'élève cherche, et la méthode deviendrait une illustration au lieu d'une démarche. C'est la même règle que dans les tuiles algébriques, et ce n'est pas un détail d'ergonomie : c'est ce qui distingue un milieu qui fait chercher d'un diaporama qui fait regarder.
2. L'arithmétique est exacte, ou elle se dit approchée
L'outil calcule sur des nombres de la forme n√d / r : des entiers, des fractions, des radicaux comme √2. Il répond √6, pas 2,449489742783178. Et lorsqu'une opération sort de cette forme, il l'annonce et passe à la valeur approchée en le disant.
La raison est sémiotique, et elle mérite d'être dite : remplacer √6 par son approximation décimale est une conversion qui perd l'objet. Le nombre exact est une longueur parfaitement définie — la diagonale d'un rectangle, le côté d'un carré d'aire 6 — ; sa valeur décimale est une mesure tronquée. Un outil qui tronque en silence n'enseigne pas les radicaux : il les remplace, et l'élève apprend que les mathématiques finissent par des chiffres après la virgule.
Le bénéfice, énoncé sans complaisance
1. Une formule devient une construction
C'est le bénéfice principal. Un énoncé qu'on récitait se refait : l'élève qui a complété le carré quatre fois peut retrouver la formule sans l'avoir apprise, et surtout la réparer quand sa mémoire flanche. Ce que Duval nomme conversion n'est plus laissé à la charge de l'élève — il est la matière même de la tâche.
2. Le discriminant cesse d'être un test
« Un carré n'est jamais négatif » remplace « si delta est négatif, il n'y a pas de solution ». La première phrase se comprend, se redémontre et s'applique ailleurs ; la seconde se retient ou s'oublie.
3. La limite du registre est enseignée, pas masquée
La racine négative n'a pas de dessin, et l'outil l'écrit quand même. L'élève apprend donc deux choses en même temps : une méthode, et le fait qu'aucun registre ne suffit à lui seul. La seconde lui servira longtemps après la quatrième secondaire.
4. L'histoire reprend sa place
La méthode est celle des tablettes babyloniennes, reprise par al-Khwārizmī : compléter le carré était un geste avant d'être une expression. Un élève qui refait ce geste fait, sans emphase, un peu d'histoire des mathématiques — et découvre qu'une formule est le résidu d'un dessin, non l'inverse.
La figure ne donne qu'une racine. C'est la limite principale, et elle est dans la nature du registre : une longueur négative n'existe pas. Elle est traitée en section 03 parce qu'elle doit être enseignée, non contournée.
Les coefficients négatifs tendent la métaphore. Avec a < 0 ou un terme négatif à compléter, le dessin ne tient que par une convention de signes — on « retire » des aires. Le geste reste juste, l'intuition de surface s'affaiblit, et il faut le reconnaître plutôt que forcer l'image.
Les racines complexes sont hors de portée. Quand l'aire est négative, la figure dit « rien dans les réels » — et elle a raison. Mais elle ne dit rien de ce qu'il y a au-delà, et ce silence devra être rompu plus tard, dans un autre registre.
Rien ici ne constitue une preuve d'efficacité. Cette page est une analyse a priori : elle établit ce que le dispositif rend possible, pas ce qu'il produit. Mesurer le second exigerait un protocole — groupes comparés, tâches de conversion avant et après, erreurs classées. Et le geste ne remplace pas la parole de l'enseignant : l'institutionnalisation — nommer, fixer, dire ce qui devient exigible — n'est pas dans l'outil et n'y sera jamais.
L'outil des figures ci-dessus vit dans le tableau Galilos, à l'onglet des outils :
Ouvrir le tableau et poser un cadre d'équationLes quatre opérations sur les entiers naturels dans les registres sémiotiques
Les entiers relatifs : quand le nombre n'a plus de collection derrière lui
Les fractions : quand le nombre n'est plus une collection mais un rapport à l'unité
Références
- Touma, G. Résolution des équations du second degré par la méthode babylonienne — document dont l'outil reprend la démarche, les cinq étapes et la figure.
- Duval, R. (1993). « Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée ». Annales de didactique et de sciences cognitives, 5, 37-65.
- Duval, R. (1995). Sémiosis et pensée humaine : registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Peter Lang.
- Duval, R. (2006). « A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics ». Educational Studies in Mathematics, 61, 103-131.
- Høyrup, J. (2002). Lengths, Widths, Surfaces : A Portrait of Old Babylonian Algebra and Its Kin. Springer.
- Neugebauer, O. (1969). The Exact Sciences in Antiquity (2e éd.). Dover.
- Al-Khwārizmī (v. 820). Kitāb al-jabr wa-l-muqābala — où la complétion du carré est établie géométriquement.
- Sfard, A. (1991). « On the dual nature of mathematical conceptions ». Educational Studies in Mathematics, 22, 1-36.
- Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques. Grenoble : La Pensée sauvage.
- Ministère de l'Éducation du Québec. Programme de formation de l'école québécoise — équations et inéquations du second degré.
Publié le 3 novembre 2026.