Les tuiles algébriques dans les registres sémiotiques
Un côté est une longueur, l'aire est ce qu'il mesure — et c'est en refusant de confondre les deux qu'un matériel enseigne l'algèbre au lieu de l'illustrer.
Un élève de troisième secondaire qui écrit 2x + 3x = 5x² n'a pas oublié une règle : il en a appliqué une, et elle existe. Additionner deux choses de même nom donne deux fois cette chose ; multiplier deux x donne x². Il a pris la seconde là où il fallait la première, parce que rien, dans l'écriture 2x + 3x, ne dit lequel des deux gestes est en jeu. L'erreur est régulière, et c'est ce qui la rend intéressante.
La thèse de Raymond Duval éclaire ce genre d'erreur mieux qu'un rappel de la règle : en mathématiques, on n'a jamais accès à l'objet, seulement à ses représentations. Le polynôme x² + 5x + 6 n'est ni cette suite de signes, ni le rectangle de côtés x + 2 et x + 3, ni le tableau de ses produits partiels — il est ce dont ces trois écritures parlent. Et rien, dans le fait de manipuler une seule d'entre elles, ne garantit qu'on accède à l'objet.
Le passage de l'arithmétique à l'algèbre ajoute à cette difficulté générale une rupture qui lui est propre, et il faut la nommer avec soin :
- La lettre n'est pas un nombre inconnu de plus : c'est un nombre qu'on ne calculera pas. Toute la scolarité antérieure a appris à trouver le résultat. En algèbre, on transforme une écriture en une autre sans jamais la réduire à un nombre — et l'élève, lui, continue de chercher la réponse qu'on ne lui demande plus.
- Le même signe « − » fait trois métiers. Dans
−xil marque un opposé ; dansx − 1une soustraction ; dans−(x − 1)il distribue. L'écriture symbolique les confond typographiquement, alors que ce sont trois actes différents. - Il n'y a plus rien à compter. Une collection d'objets ne représente pas x. Le registre figural de l'algèbre n'est donc pas une collection : c'est une mesure — une longueur, une aire. C'est un registre neuf, et il faut l'apprendre comme tel.
L'outil Tuiles algébriques repose sur un pari didactique précis : faire tenir, dans le même cadre et au même instant, l'aire qu'on manipule et l'écriture qui la note — et faire en sorte que le geste sur l'une produise l'écriture de l'autre. Cette page examine ce pari, opération par opération, avec les quatre concepts de Duval comme instruments de mesure. Le matériel reprend les activités 3.1 à 3.5 de l'auteur, dont il garde la démarche et la convention de couleurs.
Quatre concepts, et ce qu'ils permettent de voir
Duval distingue quatre opérations cognitives sur les représentations. Les confondre, c'est confondre quatre difficultés très différentes — et proposer la même remédiation à toutes.
Reconnaissance
Identifier, dans une représentation, l'objet dont elle parle et les unités signifiantes qui la composent. Dans −3x², il y en a trois — un signe, un coefficient, un degré — et chacune a son registre figural : la couleur, le nombre de tuiles, la forme. Rien, dans la suite des caractères, ne dit qu'elles sont de nature différente.
Traitement
Transformer une représentation à l'intérieur de son registre. Développer, réduire, factoriser sont des traitements dans le registre symbolique ; compléter un rectangle en est un dans le registre des aires. C'est ce que l'école enseigne le plus, et souvent le seul.
Conversion
Passer d'un registre à un autre en parlant du même objet : de (x + 2)(x + 3) au rectangle, et du rectangle à x² + 5x + 6. Duval l'établit sur des données d'enquête : la conversion est massivement plus coûteuse que le traitement, et elle n'est presque jamais enseignée pour elle-même.
Coordination
Reconnaître le même objet dans plusieurs registres et savoir lequel choisir. Ici, c'est savoir qu'un produit est une aire, qu'un facteur est un côté, et qu'un polynôme qui ne forme aucun rectangle n'est pas un polynôme raté : c'est un polynôme irréductible.
Le matériel n'est pas « le concret » opposé à « l'abstrait ». C'est un registre de plus, avec ses règles, ses unités signifiantes et son coût d'apprentissage. Une tuile rouge n'enseigne rien par sa seule présence : elle enseigne parce qu'une convention lui donne un signe, et parce qu'un geste sur elle écrit un terme au même moment.
C'est pourquoi cette page ne mesure jamais le matériel pour lui-même, mais toujours les passages qu'il rend possibles — et dit où ils s'arrêtent.
Six tuiles, deux unités signifiantes, une règle du jeu
Avant toute opération, il faut lire le matériel. Chaque tuile porte deux informations, et elles sont indépendantes : sa forme donne le degré — c'est une aire, et l'aire fait le monôme —, sa couleur donne le signe. Le document source le dit sans détour : « le signe associé à chacun n'est qu'une convention d'écriture (une règle du jeu) ».
Les six tuiles, aux dimensions et aux couleurs de l'outil : le grand carré est x par x, le rectangle 1 par x, le petit carré 1 par 1. C'est de là — et de nulle part ailleurs — que viendra la multiplication.
Le « zéro » : le geste qui tient toute la soustraction
Une tuile et son opposée, posées ensemble, valent zéro. Dans l'outil, elles disparaissent quand elles se rencontrent, et l'on peut à l'inverse en faire apparaître une paire quand il manque une tuile : c'est le bouton « ajouter un zéro ».
À gauche de l'outil, ce même geste s'écrit 0x = + x − x. Ajouter zéro ne change pas le polynôme et change tout ce qu'on peut en faire : c'est, en une image, la raison d'être de l'élément neutre.
Un côté est une LONGUEUR ; l'aire est ce qu'il mesure. C'est la distinction la plus importante de tout le dispositif, et la plus facile à perdre. Un côté de rectangle est du premier degré — x ou 1 — jamais x², qui est déjà une aire. L'outil refuse donc une tuile x² portée sur un bord, et refuse une tuile de côté déposée dans une case de l'aire ; et il dit pourquoi, au lieu de la laisser tomber en silence.
Ce refus n'est pas une sévérité d'interface. C'est la contrainte du milieu, au sens de Brousseau : ce qui enseigne n'est pas l'adulte qui corrige, c'est le dispositif qui ne peut pas faire autrement. Un matériel qui laisserait poser x² comme longueur apprendrait, en silence, l'erreur même qu'on veut éviter.
« Termes semblables » cesse d'être un mot à retenir
Réduire une somme de polynômes suppose de savoir ce qui s'ajoute à quoi. L'écriture symbolique ne le dit pas : dans 2x² + 3x, les deux termes se ressemblent beaucoup. Dans les tuiles, ils n'ont ni la même forme ni la même taille, et la question ne se pose plus.
Le rang des x, avant : trois rouges (+3x) et cinq verts (−5x) descendus dans la ligne du résultat.
Trois paires se rencontrent et valent zéro. Il reste deux verts : −2x. Personne n'a eu à décider du signe du résultat.
- Les deux polynômes sont posés sur deux lignes, rang par rang — comme on pose une addition d'entiers, les colonnes portant leur nom.
- On descend les tuiles dans la ligne du résultat, à la souris.
- Quand une tuile et son opposée s'y retrouvent, elles disparaissent. Trois rouges contre cinq verts : trois paires s'en vont, il reste deux verts.
- Le résultat se lit sur ce qui est resté : 3x² − 2x − 3. L'écriture de gauche s'est construite au fur et à mesure, ligne à ligne.
Deux unités signifiantes qui se confondaient dans l'écriture se séparent dans la figure : la forme porte le degré, la couleur porte le signe. « Termes semblables » n'est plus une définition à retenir — ce sont les tuiles qui ont la même forme, et cela se voit sans qu'on le dise.
Le traitement symbolique — réduire — est conservé, mais il devient le compte rendu d'un geste : chaque tuile descendue écrit son terme. L'élève ne calcule pas un signe, il constate un reste, puis il l'écrit. La règle des signes vient après, comme une économie, non comme un préalable.
La conversion se fait dans les deux sens, et c'est rare : de l'écriture vers les tuiles quand on pose les deux lignes, des tuiles vers l'écriture quand une paire disparaît. Ce que Duval nomme conversion n'est pas une tâche de plus, à la fin : c'est le mouvement même de l'activité.
L'erreur « 2x + 3x = 5x² » ne peut plus survivre : cinq rectangles mis côte à côte ne forment pas un grand carré, et rien dans le dispositif ne permet de les y changer. Ce n'est pas une correction, c'est une impossibilité matérielle — la coordination des registres invalide l'erreur avant qu'un adulte n'ait à la juger.
On ne peut pas enlever ce qui n'est pas là — alors on le fait apparaître
C'est l'opération où l'écriture trahit le plus. (x² + 4) − (2x + 1) : la règle dit « on change les signes et on additionne », et aucun des deux gestes ne dit ce qui se passe. D'où l'erreur régulière la plus répandue du secondaire — ne distribuer le moins que sur le premier terme de la parenthèse.
Un seul tas : le premier polynôme, x² + 4. Ce qu'il faut lui retirer se LIT à gauche ; on ne le pose pas en tuiles.
Il faut enlever 2x, et il n'y a aucun x. On ajoute deux « zéros » de rang x : le tas n'a pas changé de valeur.
On clique les tuiles à enlever : les deux x rouges et un 1. Elles restent barrées, non effacées. Il reste x² − 2x + 3.
⚠ Un seul ensemble de tuiles est posé — celui du premier polynôme. Ce qu'on doit lui retirer se lit, sans quoi l'élève croit avoir deux tas à manipuler alors qu'il n'en a qu'un, et la soustraction redevient une addition déguisée.
- Le rang des x est vide, et il faut en enlever deux. Le dispositif ne le permet pas : on ne retire pas d'un tas ce qu'il ne contient pas.
- On ajoute un « zéro » de rang x, deux fois : chaque fois une tuile x et son opposée −x. À gauche s'écrit 0x = + x − x.
- On clique les deux x rouges : ils s'en vont, barrés. Restent les deux −x — et l'on n'a jamais eu à « changer le signe » de quoi que ce soit.
- On clique un 1. Il reste x² − 2x + 3.
Le terme absent devient visible en tant qu'absent : le rang des x est vide, et le vide se voit. L'écriture « 0x », que personne n'écrit jamais, prend ici un statut — elle nomme une place où il n'y a rien et où il va falloir faire apparaître quelque chose.
« Changer les signes et additionner » n'est plus un rituel : c'est ce qu'on constate après coup. Le traitement garde sa trace — les tuiles enlevées restent barrées au lieu de disparaître — donc il peut être relu, discuté, corrigé par son auteur. C'est la condition pour qu'il devienne autonome.
La conversion la plus coûteuse de l'algèbre élémentaire se fait ici en un geste : ajouter un « zéro » à droite, c'est écrire le terme manquant à gauche. Les deux écritures sont produites par la même action, au même instant ; aucune ne peut mentir sur l'autre.
L'élément neutre cesse d'être une propriété à réciter. Ajouter zéro ne change pas le polynôme et change tout ce qu'on peut en faire : c'est exactement ce que la figure montre, et c'est ce même geste qu'on retrouvera, inchangé, dans la division et dans la complétion du carré.
La double distributivité redevient un rectangle
Développer (x + 3)(x + 2) demande quatre produits, et l'écriture ne dit pas pourquoi quatre. La « règle du papillon » les fait retenir sans les expliquer ; l'élève qui en oublie un n'a rien pour s'en apercevoir.
Les facteurs sur les bords — x + 3 en haut, x + 2 à gauche —, et chaque case remplie par le produit de sa colonne et de sa ligne. Les bandes des côtés sont plus minces : ce sont des longueurs, pas des aires.
Puis on retire les bords : il reste l'aire. On la lit par rangs — un grand carré, cinq rectangles, six petits carrés : x² + 5x + 6.
- On porte les tuiles des facteurs sur les bandes des côtés. Elles viennent d'une réserve à part — « les tuiles des côtés » — qui ne contient que du premier degré.
- Chaque case de la grille réclame le produit de sa ligne par sa colonne, signe compris. On la remplit à la main, tuile par tuile.
- Le rectangle complet, on retire les bords : ils ont servi à mesurer, ils ne sont pas l'aire.
- On simplifie et on lit : x² + 5x + 6.
Et la limite du modèle, que l'outil nomme au lieu de la cacher : deux facteurs du premier degré, pas davantage. Un côté est une longueur ; x² est déjà une aire, elle ne peut pas être un côté. L'outil refuse donc (x² + 1)(x + 1) — et le dit en ces termes — parce qu'il ne sait pas dessiner x³, et qu'un matériel qui laisse poser ce qu'il ne peut pas dessiner trompe son monde.
Le mot « produit » retrouve son référent géométrique : une aire. Et le coefficient retrouve le sien : un nombre de tuiles dans un rang. L'élève qui voit cinq rectangles identiques n'a pas besoin qu'on lui explique pourquoi 2x + 3x donne 5x — il le compte.
La double distributivité reste la double distributivité : on ne remplace pas la technique, on la rend lisible case par case. Chaque produit partiel correspond à une région, et une région manquante se voit — ce qui rend le traitement vérifiable par son auteur, et non seulement par le corrigé.
C'est la conversion centrale de l'algèbre du secondaire, et elle se fait ici dans les deux sens : des facteurs vers l'aire (développer), de l'aire vers les côtés (factoriser). Les deux sens sont le même dessin lu dans l'autre direction, ce que l'écriture symbolique ne laisse jamais voir.
Le refus du modèle est lui-même instructif : si x² ne peut pas être un côté, c'est parce qu'un côté est une longueur et une aire n'en est pas une. Le domaine de validité d'un registre devient un objet d'enseignement, au lieu d'une limite qu'on contourne en silence.
On connaît l'aire et un côté : on cherche l'autre
La division de polynômes s'enseigne comme une potence, et la potence se justifie dans le seul registre où on l'écrit. Dans les tuiles, elle redevient la question qu'elle est : un rectangle dont on connaît l'aire et un côté, et dont l'autre côté est le quotient. Voici (x² − 1) ÷ (x + 1) — le cas le plus instructif, parce que l'aire donnée ne contient pas les tuiles dont le rectangle a besoin.
L'aire qu'on donne : x² − 1. Deux tuiles, et c'est tout ce qu'on a.
Le côté connu x + 1 en haut, le côté cherché à construire à gauche. Deux cases réclament x et −x : l'aire ne les a pas.
Un « zéro » de rang x les fait apparaître — x et −x valent 0 ensemble — et le rectangle se ferme. Le côté construit se lit : x − 1.
- L'aire est posée, le côté connu occupe la bande du haut, et la bande de gauche attend : c'est le côté qu'on cherche.
- On y porte une tuile x : le rectangle gagne une rangée, qu'il reste à remplir. La case x² se remplit, la case x reste vide — et « ce qui reste de l'aire » ne contient aucun x.
- On ajoute un « zéro » de rang x. Les deux tuiles manquantes apparaissent, et les cases se remplissent.
- On porte −1 au côté, les deux dernières cases se ferment, et le quotient se lit sur le côté construit : x − 1. Ce qui ne tient dans aucune case formerait le reste.
« Diviser » retrouve son référent : chercher un côté. Et le reste cesse d'être la ligne du bas d'une potence pour redevenir ce qui est encore sur la table et qui ne tient dans aucune case — la notion la plus fragile de la division devient la plus visible.
La potence reste la potence : on ne remplace pas la technique, on lui donne sa raison. Une colonne du rectangle correspond à une étape de la division posée, et l'écriture de gauche avance d'une ligne quand une rangée se remplit à droite.
La conversion est ici asymétrique, et c'est tout l'intérêt : l'aire et un côté sont donnés dans le registre symbolique, le second côté doit être produit dans le registre figural avant de pouvoir s'écrire. L'élève ne traduit pas un résultat qu'il a déjà — il le construit dans l'autre registre, puis il le lit.
x² − 1 = x² + x − x − 1 : deux écritures du même polynôme, dont l'une seulement permet le rectangle. C'est la définition même du traitement interne chez Duval — transformer une représentation dans son registre pour rendre possible une conversion. Ici, on ne peut pas y échapper : sans ce zéro, la figure ne se ferme pas.
Aucun côté connu : c'est le rectangle qu'on cherche
Factoriser x² + 5x + 6 se présente d'ordinaire comme une devinette gouvernée par une astuce — « deux nombres dont la somme fait 5 et le produit 6 ». L'astuce fonctionne, et elle n'explique rien. Dans les tuiles, la question est entière : on a l'aire, on cherche les deux côtés.
Les douze tuiles de l'aire : un x², cinq x, six 1. La seule question est : forment-elles un rectangle ?
Oui — et un seul. Ses côtés sont les facteurs : x + 2 et x + 3. On ne les a pas devinés, on les a lus.
- L'aire est posée en entier, et les deux bandes de côtés sont vides.
- On essaie : une tuile x en haut, une tuile x à gauche — la case x² se remplit. Puis on ajoute des 1 d'un côté, de l'autre, et l'on regarde ce que les cases réclament.
- Quand toutes les cases sont pleines et qu'il ne reste rien, les côtés sont les facteurs : (x + 2)(x + 3).
- S'il reste des tuiles, ou si une case réclame une tuile qu'on n'a pas, ce n'est pas le bon rectangle — et l'outil le dit, avec ce qui manque.
Le cas qui enseigne le plus : celui qui ne marche pas
x² + 1 : un grand carré et un petit. Aucune disposition n'en fait un rectangle, et l'on peut s'en convaincre en essayant.
x² + x + 6 : même constat. Un rectangle manquerait toujours des x, et les « zéros » n'y changent rien — ils vont par paires.
Qu'un polynôme ne forme aucun rectangle n'est pas l'échec de l'élève, ni celui du matériel : c'est un résultat. x² + 1 est irréductible sur les entiers, et le dispositif vient de l'établir par une impossibilité de construction plutôt que par une affirmation d'autorité. L'élève a fait, sur un cas, l'expérience de ce que signifie « ne se factorise pas » — et il peut dire pourquoi.
Les facteurs sont reconnus comme des côtés, donc comme des longueurs : du premier degré, jamais davantage. Et le polynôme est reconnu comme une aire, c'est-à-dire comme une quantité qui peut se ranger — ou pas. « Irréductible » devient une propriété observable.
Le tâtonnement est ici légitime et productif : on essaie un côté, on regarde ce que les cases réclament, on corrige. Ce n'est pas un pis-aller en attendant l'astuce — c'est le traitement propre au registre des aires, et il a ses propres règles d'arrêt : plus de case vide, plus de tuile en main.
C'est la conversion la plus coûteuse des cinq opérations, parce qu'elle part du registre où l'on a le MOINS d'information : une aire, et rien d'autre. L'élève doit produire les deux côtés dans le registre figural avant de pouvoir écrire quoi que ce soit — exactement ce que les enquêtes de Duval donnent pour le passage le plus rarement enseigné.
Développer et factoriser cessent d'être deux chapitres : c'est le même rectangle, lu dans un sens ou dans l'autre. Un élève qui a construit (x + 2)(x + 3) à partir des douze tuiles n'a plus besoin qu'on lui dise de vérifier son résultat en développant — il vient de le faire, dans le même dessin.
Le bénéfice, énoncé sans complaisance
Quatre déplacements se dégagent, et ils ne sont pas de même poids.
1. La conversion devient une activité, au lieu d'un espoir
C'est le bénéfice principal, et il porte exactement là où la recherche situe la difficulté. Dans l'enseignement ordinaire, l'élève travaille dans le registre symbolique et l'on espère qu'il fera seul le lien avec le sens. Ici, le geste et l'écriture sont simultanés et solidaires : une tuile portée dans une case écrit un produit partiel, un « zéro » ajouté écrit 0x = + x − x. Ce que Duval nomme conversion n'est plus laissé à la charge de l'élève — il est la matière même de la tâche.
2. Certaines erreurs deviennent impossibles plutôt que corrigées
Mettre cinq rectangles bout à bout ne fait pas un grand carré. Enlever une tuile qu'on n'a pas ne se peut pas. Poser x² comme longueur ne se peut pas. La différence avec une correction est considérable : l'élève n'apprend pas qu'un adulte le désapprouve, il rencontre une contrainte du milieu — au sens de Brousseau — et c'est elle qui enseigne.
3. Les cinq opérations sont une seule figure
Multiplier, diviser, factoriser sont le même rectangle, selon qu'on connaît deux côtés, un seul, ou aucun. Cette économie n'est pas qu'élégante : elle permet à un élève d'attaquer la factorisation avec ce qu'il a déjà fait en multipliant, au lieu d'ouvrir un chapitre de plus. Et le « zéro » appris à la soustraction est exactement celui qui débloque la division.
4. La technique écrite est conservée, pas remplacée
Aucune des cinq opérations ne troque l'algorithme contre la manipulation. La double distributivité reste la double distributivité, la potence reste la potence. Ce qui change est leur statut : de procédure subie, elles deviennent un raccourci dont on connaît le chemin long — donc réparable quand la mémoire flanche.
Le modèle s'arrête au second degré. Deux facteurs du premier degré, pas davantage : x³ demanderait un volume, x⁴ plus rien du tout. L'outil refuse ce qu'il ne peut pas dessiner, et c'est honnête ; il reste qu'au-delà, l'élève n'a plus de figure et doit avoir appris à s'en passer.
Une longueur négative n'existe pas. Que −x soit un côté possible est une convention de couleur, pas une propriété des longueurs. Le registre figural est ici plus pauvre que le registre symbolique, et il faut le dire à l'élève plutôt que lui laisser croire que le dessin fonde tout. C'est la fissure principale du modèle : on la nomme, on ne la répare pas.
Les coefficients restent entiers et petits. ½x² ou √2 x n'ont pas de tuile. Le dispositif sert à construire l'opération, non à l'exécuter ; le confondre avec un logiciel de calcul symbolique serait un contresens.
Le registre manipulable a lui-même un coût. Formes, couleurs, bandes de côtés forment un système de signes qu'il faut apprendre. Un élève peut devenir habile dans ce registre-là sans convertir davantage — c'est l'écueil connu de tout matériel structuré, et aucun outil n'en dispense.
Rien ici ne constitue une preuve d'efficacité. Cette page est une analyse a priori, au sens didactique du terme : elle établit ce que le dispositif rend possible, pas ce qu'il produit. Mesurer le second exigerait un protocole — groupes comparés, tâches de conversion avant et après, erreurs classées — et ce travail reste à faire. Le geste ne remplace pas non plus la parole de l'enseignant : l'institutionnalisation — nommer, fixer, dire ce qui devient exigible — n'est pas dans l'outil et n'y sera jamais.
L'outil des exemples ci-dessus vit dans le tableau Galilos, à l'onglet des outils :
Ouvrir le tableau et poser un cadre de tuilesLes entiers relatifs : quand le nombre n'a plus de collection derrière lui
Les fractions : quand le nombre n'est plus une collection mais un rapport à l'unité
Références
- Touma, G. Les tuiles algébriques — activités 3.1 à 3.5, dont cet outil reprend la démarche, les exemples et la convention de couleurs.
- Duval, R. (1993). « Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée ». Annales de didactique et de sciences cognitives, 5, 37-65.
- Duval, R. (1995). Sémiosis et pensée humaine : registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Peter Lang.
- Duval, R. (2006). « A cognitive analysis of problems of comprehension in a learning of mathematics ». Educational Studies in Mathematics, 61, 103-131.
- Sfard, A. (1991). « On the dual nature of mathematical conceptions ». Educational Studies in Mathematics, 22, 1-36.
- Kieran, C. (1992). « The learning and teaching of school algebra », dans D. Grouws (dir.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Macmillan.
- Filloy, E. et Rojano, T. (1989). « Solving equations : the transition from arithmetic to algebra ». For the Learning of Mathematics, 9(2), 19-25.
- Arcavi, A. (1994). « Symbol sense : informal sense-making in formal mathematics ». For the Learning of Mathematics, 14(3), 24-35.
- Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques. Grenoble : La Pensée sauvage.
- Ministère de l'Éducation du Québec. Programme de formation de l'école québécoise — algèbre, sens des expressions algébriques.
Publié le 3 novembre 2026.